Борис Алексеевич Костров родился в Петербурге, в семье конторского служащего Путиловского завода. Учился в трудовой школе. Работал на фабрике им. Володарского, затем в числе других комсомольцев был направлен на работу в один из совхозов Ленинградской обл. Первое стихотворение Б. Кострова – «Трактористы» – было опубликовано в 1932 г. в журнале «Резец». В 1934 г. поступил учиться в вечерний рабочий литературный университет. Вернувшись в 1937 г. в Ленинград, печатался в журналах «Резец», «Звезда», «Ленинград». В 1941 г. вышел первый сборник его стихов – «Заказник». 24.06.1941 добровольцем ушел на фронт, участвовал в боях на Волховском, Калининском фронтах, в Карелии. Был трижды ранен. В 1943 г. направлен в танковое училище, через год, окончив его, вновь участвовал в боях в составе войск Прибалтийского фронта. 11.03.1945 при штурме г. Крейцбурга (Восточная Пруссия) командир самоходки Б.А. Костров получил тяжелое ранение. Умер 14.03.1945. Похоронен в братской могиле на центральной площади г. Крейцбурга (ныне пос. Енино Багратионовского р-на Калининградской обл.).